“How do I check this one out?”
check ~ out は、図書館では「(本を)借りる・貸出手続きをする」という意味です。ほかに「~を調べてみる・見てみる」(Check this out!=これ見て!)や、ホテルの「チェックアウト」の意味もあるので、場面で判断しましょう。自然な意訳は「この本はどうやって借りればいいですか?」です。
A1-37 / CEFR A1 / EPISODE 37
図書館で借り方を尋ねる
場面図書館。

Frank is at the library. He cannot find a book. He asks a staff member.
フランクは図書館にいる。本が見つからない。彼は職員に尋ねる。
Could you help me, please?
手伝っていただけますか?
Of course. How can I help?
もちろんです。どうされましたか?
I cannot find this book.
この本が見つからないんです。
Let me check. ...It's on shelf five.
確認しますね。…5番の棚にありますよ。
Thank you. I usually only read books here. How do I check this one out?
ありがとうございます。いつもはここで読むだけなんです。この本はどうやって借りればいいですか?
At the front desk, over there.
あちらの受付カウンターです。
Frank! I found the manga! Twelve books!
フランク!漫画見つけた!12冊!
I found one book. About rocks.
僕は1冊見つけた。岩の本だ。
Twelve to one. I win at the library, too.
12対1。図書館でも私の勝ちね。
It is not a game, Tina.
ゲームじゃないよ、ティナ。
WORDS & CONTEXT
check ~ out は、図書館では「(本を)借りる・貸出手続きをする」という意味です。ほかに「~を調べてみる・見てみる」(Check this out!=これ見て!)や、ホテルの「チェックアウト」の意味もあるので、場面で判断しましょう。自然な意訳は「この本はどうやって借りればいいですか?」です。