“make an appointment” / “come in”
appointment は、医者・美容院・面接など、決まった時間に人と会う「予約」です。レストランやホテルなど、席や部屋をとる予約は reservation(A1-50 の I have a reservation.)と言い、使い分けます。make an appointment で「予約を取る」です。come in は「(医院に)来院する」で、When would you like to come in? は「いつ来院されますか?」という意味です。
“And what seems to be the problem?”
What seems to be the problem? は、病院の受付や医師、店の窓口などで「どうされましたか?」と用件を尋ねる決まり文句です。seems to be を入れることで、直接的な What's the problem? よりていねいでやわらかい響きになります。自然な意訳は「どうされましたか?」です。
“stitches” / “new thread” / “pink thread”
stitches は傷などを縫った糸や縫い目のことで、came loose は「ほつれた・緩んだ」という意味です。thread は「糸」です。フランクは人造人間なので、腕の縫い目のほつれを「新しい糸が必要なだけ」と淡々と説明しています。最後は、ティナが治療よりも糸の色を気にして、自分の好きなピンクを指定するのがオチです。